解一元二次不等式的步骤包括将不等式化为标准形式、求解对应的一元二次方程、画出数轴并标出根、确定每个区间内不等式的符号以及写出不等式的解集。在特殊情况下,还需要注意a的正负和不等式的方向对解集的影响。
解一元二次不等式的步骤可以归纳为以下几点:
一、将不等式化为标准形式
首先,将一元二次不等式化为标准形式,即 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0(其中 a不等于0)。这是为了后续步骤的方便处理。
二、求解对应的一元二次方程
接下来,求解对应的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根。这可以通过求根公式 x=(−b±b2−4ac)/2a 来完成。需要注意的是,当判别式 Δ=b2−4ac<0 时,方程无实数解,此时一元二次不等式的解集将取决于 a 的正负和不等式的方向。
三、画出数轴并标出根
在数轴上标出方程的根(如果存在的话),这些根将数轴分为若干个区间。
四、确定每个区间内不等式的符号
在每个区间内选取一个代表点(例如,区间的中点或端点),代入原不等式,判断不等式的真假。根据不等式的真假,可以确定该区间内所有点是否满足不等式。
五、写出不等式的解集
根据上述步骤,确定每个区间内是否满足不等式,并根据不等号的方向选择相应的区间,最后写出不等式的解集。
注意事项
在解不等式时,要注意各个步骤的符号变化和区间判断的准确性,避免出现漏解或重解的情况。
如果不等式中含有参数,可能需要进行分类讨论。
除了上述的代数方法外,还可以通过一元二次函数的图象来求解不等式,这种方法更加直观和易于理解。
综上所述,解一元二次不等式的步骤包括将不等式化为标准形式、求解对应的一元二次方程、画出数轴并标出根、确定每个区间内不等式的符号以及写出不等式的解集。在特殊情况下,还需要注意 a 的正负和不等式的方向对解集的影响。
(1)4x2-1≥0;
(2)x-x2+6<0;
(3)x2+x+3≥0;
(4)x2+x-6<0;
(5)2x2+3x-6<3x2+x-1;
(6)-x2-3x+10≥0.
解:(1)∵4x2-1≥0,
∴x2≥14,解得x≥12或x≤−12,
∴原不等式的解集为{x|x≥12或x≤−12}.
(2)∵x-x2+6<0,
∴x2-x-6>0,
△=1+24=25,
解方程x2-x-6=0,得x1=-2,x2=3,
∴原不等式的解集为{x|x<-2或x>3}.
(3)∵x2+x+3≥0,
△=1-12=-11,
∴原不等式的解集为R.
(4)∵x2+x-6<0,
△=1+24=25,
解方程x2+x-6=0,得x1=2,x2=-3,
∴原不等式的解集为{x|-3}.
(5)∵2x2+3x-6<3x2+x-1,
∴x2-2x+5>0,
△=4-20=-16,
∴原不等式的解集为R.
(6)∵-x2-3x+10≥0,
∴x2+3x-10≤0,
△=9+40=49,
解方程x2+3x-10=0,得x1=-5,x2=2,
∴原不等式的解集为{x|-5≤x≤2}.