正交矩阵一定可逆吗

文/悲与喜

正交矩阵一定可逆。根据可逆矩阵的定义,如果存在一个n阶方阵B,使得矩阵A与B的乘积等于单位矩阵,则矩阵A是可逆的,B是A的逆矩阵。

正交矩阵和可逆矩阵的关系

正交矩阵一定是可逆的,但可逆矩阵不一定是正交矩阵。正交矩阵的定义是基于矩阵的转置和逆,如果矩阵A满足(A^TA = I)(I是单位矩阵),则称A为正交矩阵。

根据这个定义,正交矩阵的列(或行)向量是相互正交的单位向量,因此它的转置矩阵等于其逆矩阵,这使得正交矩阵一定是可逆的。而可逆矩阵是指存在另一个矩阵B,使得A和B的乘积结果为单位矩阵,但可逆矩阵不必须满足正交矩阵的特定条件(即列向量或行向量的正交性)。

正交矩阵的定理

在矩阵论中,实数正交矩阵是方块矩阵Q,它的转置矩阵是它的逆矩阵,如果正交矩阵的行列式为+1,则称之为特殊正交矩阵。

方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;

方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;

A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;

A的列向量组也是正交单位向量组。

正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

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