正定矩阵不一定是对称的。正定矩阵在实数域上是对称矩阵,在复数域是厄米特矩阵(共轭对称)。对于一个具体的实对称矩阵,通常用来判断其正定性的是矩阵各阶的主子式是否大于零;对于抽象矩阵,给定矩阵的正定性,利用标准型、特征值和充要条件证明相关矩阵的正定性。
(1)广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT表示z的转置,就称M为正定矩阵。
例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)
(2)狭义定义:一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。
不一定是对称的。
正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。
因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内(实数域上是对称矩阵)。
如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M,只要其满足A=(M+M^T)/2,且(x^T)Ax>0,即可。例如,M=[1 -1;1 1] ,A=[1 0;0 1]。但如果M不是厄米特矩阵,一般不讨论他的正定性。
例如:
A=[1 1;-1,1]
这个矩阵满足对于任意实非零向量向量x=(x1,x2),有x^TAx>0,因此是正定的。
如果一个矩阵A是正定的,那么对称矩阵B=(A+A^T)/2也是正定的,这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。
对于任意对称矩阵B,我们可以对其进行卡氏分解。
对于复系数矩阵,我们有B=(A+A*)/2为正定矩阵。